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Giuseppe Peano
Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien
Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:
I.) 1 ist eine (natürliche) Zahl.
II.) Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
III.) 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
IV.) Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
V.) Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:
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Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen
will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:
Verankerung: a(1)
Induktionsschritt: a(k) → a(k+1) (für alle k)
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Dann gilt: a(n) (für alle n)
Diese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 publiziert. |
pEano-Axiom
id:
615618
